Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipione del Ferro và Niccolò Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.[1]

Trước tiên, chia phương trình cho α 3 {\displaystyle \alpha _{3}} để đưa về dạng

x 3 + a x 2 + b x + c = 0. ( 1 ) {\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)}

Đặt x = t − a 3 {\displaystyle x=t-{\frac {a}{3}}} và biến đổi ta có phương trình

t 3 + p t + q = 0 , {\displaystyle t^{3}+pt+q=0,} trong đó p = b − a 2 3 {\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}} và q = c + 2 a 3 − 9 a b 27 . ( 2 ) {\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)}

Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.

Ta sẽ tìm các số u {\displaystyle u} và v {\displaystyle v} sao cho

u 3 − v 3 = q {\displaystyle u^{3}-v^{3}=q} và u v = p 3 . ( 3 ) {\displaystyle uv={\frac {p}{3}}.\qquad (3)}

một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt

t = v − u , {\displaystyle t=v-u,\,}

có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t {\displaystyle t} vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức

( v − u ) 3 + 3 u v ( v − u ) + ( u 3 − v 3 ) = 0 {\displaystyle (v-u)^{3}+3uv(v-u)+(u^{3}-v^{3})=0\,}

Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v {\displaystyle v} , ta có

v = p 3 u . {\displaystyle v={\frac {p}{3u}}.}

Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có

u 3 − p 3 27 u 3 = q . {\displaystyle u^{3}-{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.}

Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u3. Khi giải, ta tìm được

u = q 2 ± q 2 4 + p 3 27 3 . ( 4 ) {\displaystyle u={\sqrt[{3}]{{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\qquad (4)}

Vì t = v − u , {\displaystyle t=v-u,\,} và x = t − a 3 {\displaystyle x=t-{\frac {a}{3}}} , ta tìm được

x = p 3 u − u − a 3 . {\displaystyle x={\frac {p}{3u}}-u-{a \over 3}.}

Chú ý rằng, có sáu giá trị u {\displaystyle u} tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu ( ± {\displaystyle \pm } ), và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với − 1 / 2 ± i 3 / 2 {\displaystyle -1/2\pm i{\sqrt {3}}/2} ). Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x {\displaystyle x} , không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu p = 0 {\displaystyle p=0} , thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u ≠ 0. {\displaystyle u\neq 0.} , i.e. u = q 3 {\displaystyle u={\sqrt[{3}]{q}}} . Thứ hai, nếu p = q = 0 {\displaystyle p=q=0} , thì ta có x = − a 3 . {\displaystyle x=-{\frac {a}{3}}.} .